Journal of Institute of Mathematics and Digital Technology

Malfatti’s constrained optimization problem

Iderbayar Shiilegbat — 2023-12-31

In 1803 Italian mathematician Malfatti posed the following problem how to pack three non-overlapping circles of maximum total area in a given triangle. Malfatti originally assumed that the solution to this problem are three circles inscribed in a triangle such that each circle tangent to other two and touches two sides of the triangle. Now it is well known that Malfatti’s solution is not optimal. The problem for the first time was treated as a global optimization problem in Enkhbat [9]. In this paper, we consider a new formulation of Malfatti’s problem called Malfatti’s constrained optimization problem. The new problem is formulated as a nonconvex optimization problem with nonlinear constraints. Numerical experiments were conducted on Python for the cases.

Мальфаттын зааглалтай бодлого

Хураангуй: 1803 онд анх Италийн математикч Мальфатт өгөгдсөн гурвалжинд хамгийн их талбайтай, давхцахгүйгээр гурван тойргийг хэрхэн байрлуулах вэ? гэсэн бодлогыг тавьж байсан бөгөөд энэхүү бодлогын шийд нь гурвалжинд багтсан гурван тойргуудын тойрог бүр нөгөө хоёр тойргийг, гурвалжны хоёр талыг шүргэсэн байна гэж үзсэн.
Энэ нь хараахан оновчтой шийд биш байсан ба [9] ажилд анх Мальфаттын бодлогыг бодох глобал оновчлолын бодлогыг томьёолж шийдийг олох арга алгоритм боловсруулсан. Энэхүү судалгаанд бид Мальфаттын бодлогын шинэ томьёолол буюу Хөдөлгөөнт Мальфаттын бодлогыг авч үзсэн. Тус бодлого нь шугаман бус хязгаарлалттай гүдгэр бус оновчлолын бодлого юм. Тоон туршилтыг Python дээр хийсэн.

Түлхүүр үгс: Мальфаттын бодлого, гүдгэр бус оновчлол, тойрог, гурвалжин

Comparison of Nash and Berge Equilibrium’s in Bimatrix Game

Mengkezula Sagaarinqin — 2023-12-31

Game theory has numerous applications in applied mathematics, economics, and decision theory. There are several books and articles that deal with Nash and Berge equilibriums. To our knowledge, there are no comparisons or conclusive results related to the optimal decision-making between Nash and Berge equilibriums. We provide numerical experiments for both equilibria.

Биматрицан Тоглоом Дахь Нэш, Бержийн Тэнцвэрийн Харьцуулалт

Хураангуй: Тоглоомын онол нь эдийн засаг, шийдвэр гаргалтын онол, бизнес, улс төр, хэрэглээний математик зэрэг салбарт хэрэглээ ихтэй. Бержийн тэнцвэрийн талаар хэд хэдэн судалгаа, зохиолууд байдаг боловч бидний одоогийн судалснаар түүний Бержийн тэнцвэрийн оновчтой шийдийн хувьд Нэшийн тэнцвэртэй харьцуулсан судалгааны ажил байхгүй байна. Бидний ажил нь энэ харьцуулалтыг хийж Берж ба Нэшийн тэнцвэрүүдийн хувьд тоглогчдын хожлын утгын хувьд харьцуулсан дүгнэлт гаргах зорилготой. Тоон туршилт хийж үр дүнг гаргасан.
Түлхүүр үгс: Бержийн ба Нэшийн тэнцвэр, локал ба глобал оновчтой шийд, глобал оновчтой
нөхцөл

Simulation on Sangaku problem using optimization methods

Davaajargal Jargalsaikhan — 2023-12-31

Sangaku problem is one of Japanese Temple Geometry problems which was studied in Hidetoshi Fukugawa[1]. One of the Sangaku problem is packing 6 equal circles in rectangle of 1:1.934798 size. We examine the problem from a view point of optimization theory and algorithm. We show that Sangaku optimization problem belongs to a class of nonconvex optimization and propose a penalty method for solving the problem numerically. In numerical expirements, we consider equal and unequal 6 circles. Computational results obtained on Python Jupyter Notebook are provided.

Сангаку бодлогыг оптимизацийн аргаар бодох нь

Хураангуй: Сангаку бодлого нь Японы эртний геометрийн бодлого юм. Энэхүү судалгаандаа бид Хидетоши Фукугава эрдэмтний судалсан 1:1.934798 хэмжээтэй тэгш өнцөгтөд 6 ижил тойрог багтаах сангаку бодлогыг авч үзэв. Энэ бодлогыг хучилтын бодлогын хүрээнд оптимизацийн аргаар бодсон ба энэ нь гүдгэр бус максимумчлалын бодлого болно.Бодлогыг өргөтгөж, ижил бус 6 тойргын хувьд бодож торгуулийн функцийн аргаар нэмж тооцооллыг хийв. Python Jupyter Notebook программ дээр тооцооллыг хийж үр дүнг гаргасан болно.

Түлхүүр үгс: Сангаку бодлого, хучилтын бодлого, тойрог, оптимизацийн арга

Ramsey’s growth model

Ankhbayar Chuluunbaatar — 2023-12-26

The objective of this study is to utilize the Ramsey-Cass-Koopmans (RCK) model within a closed economy framework. We utilize a fundamental RCK model and incorporate the steady state condition of the dynamic model by employing matrix eigenvalues. The dynamic model analyzes the utilization of data from the period of 1995-2021, taking into account the production function and population growth. To maximize well-being, it is necessary for capital to be 3 times its current level, while the production amount should be increased by 1.6 times.

Рамсейн өсөлтийн загвар

Энэхүү судалгааны ажлаар хаалттай эдийн засаг дахь Ramsey-Cass-Koopmans (RCK) нарын загварыг ашиглахыг зорилоо. Бид RCK нарын үндсэн загварыг ашигласан ба нэмэлтээр матрицын хувийн утгуудыг ашиглан тогтвортой төлөвийн динамик загвар нь асимптот тогтвортой эсэхийг шалгах нөхцөлийг тусгасан. Тодорхойлсон динамик загварууд нь асимптот тогтвортой эсэхийг 1995-2021 оны статистикийн тоон мэдээлэл, үйлдвэрийн функц болон хүн амын өсөлтийн үнэлгээг ашиглан шалгасан. Шинжилгээний үр дүнд Монголын эдийн засгийн хувьд нийгмийн сайн сайхан байдалд хүргэх максимум хэрэглээг хангахын тулд капиталын хэмжээг 3 дахин, үйлдвэрлэлийн хэмжээг 1.6 дахин нэмэгдүүлэх шаардлагатай байна.

Түлхүүр үгс: Ханамжийг максимумчлах, Гамильтоны функц, тогтвортой төлөв, үйлдвэрлэлийн функцийн үнэлгээ, Жаковын матриц

Urban land use change study in Ulaanbaatar city using RS and GIS

Amarsaikhan Damdinsuren — 2023-12-31

In recent years, Ulaanbaatar, the capital of Mongolia, has experienced very rapid urbanization. Different reasons are considered for urban expansion, however, the main cause is connected with a mass movement of rural people seeking for improved living conditions. The aim of this study is to analyse changes in urban land use in the central part of the capital city using remote sensing (RS) and geographic information system (GIS) datasets. For the development of the principal digital spatial database, a 1:5000 scale topographic map and a historical description of the elements of land use were used. To update the database and extract reliable urban land use information, very high-resolution panchromatic and multispectral Quickbird images of 2023 were fused. For fusion, three different data fusion techniques such as a Brovey transform, Gramme-Schmidt method and intensity-hue-saturation (IHS) transformation were compared in terms of the enhancement of spatial and spectral variations of the available classes. Of these methods, the IHS transformation gave a superior result in terms of both spectral and spatial separations between different objects and classes. Therefore, for this technique was selected for further analysis. Overall, the research showed that the central part of Ulaanbaatar city became very dense and precise planning should be considered.

Улаанбаатарын хотын газар ашиглалтын өөрчлөлтийг зайнаас тандах судлал ба ГМС ашиглан судалсан дүн

Сүүлийн жилүүдэд Монгол улсын нийслэл Улаанбаатарт хотжилт маш хурдацтай нэмэгдэж байна. Хотжилт тэлэх олон шалтгаан бий боловч гол шалтгаан нь амьдралын нөхцөлийг сайжруулахыг эрэлхийлж буй хөдөөгийн иргэдийн шилжилт хөдөлгөөнтэй холбоотой юм. Энэхүү судалгааны зорилго нь зайнаас тандах судлал (ЗТС) болон газарзүйн мэдээллийн систем (ГМС)-ийн өгөгдлийг ашиглан нийслэлийн төв хэсгийн газар ашиглалтын өөрчлөлтөд дүн шинжилгээ хийх юм. 1:5000 масштабтай байр зүйн зураг болон газар ашиглалтын элементүүдийн түүхэн өгөгдлүүдээр орон зайн мэдээллийн санг бүрдүүлэн судалгаанд ашигласан болно. Мэдээллийн санг шинэчилж хотын газрын ашиглалтын бодит мэдээллийг гарган авахын тулд Quickbird дагуулын 2023 оны хэт өндөр нарийвчлалтай панхроматик болон олон бүсчлэлийн зургуудыг нэгтгэн ашиглалаа. Дүрс мэдээг нэгтгэхдээ ангиудын орон зайн болон спектрийн тодролыг сайжруулах үүднээс Бровейн шилжүүлэлт, Грамм-Шмидтийн арга ба өнгө-эрчим-ханалт (IHS) хувиргалтын аргуудыг ашиглан үр дүнгүүдийг харьцуулсан. Эдгээр аргуудаас IHS-ийн хувиргалтын үр дүн нь өөр өөр объект болох ангиуд хоорондын спектрийн болон орон зайн хувьд хамгийн сайн ялгаж байсан тул цаашдын дүн шинжилгээнд сонгосон. Энэхүү судалгааны үр дүн нь Улаанбаатар хотын төв хэсэг хэт их нягтшилтай, нарийн төлөвлөлт хийх шаардлагатай байгааг харууллаа.

Түлхүүр үгс: Хотын газар ашиглалт, Зайнаас тандан судлал, дүрс мэдээг нэгтгэх, өөрчлөлтийн судалга

Modeling the control of a radar antenna rotation system

Ganbayar Batchuluun — 2023-12-31

Following the constitutional provision stating that “Mongolia has an armed force for self-defence” [1], and fulfilling its duty to safeguard its territory, borders, and national security, the technical equipment of the radar station, which monitors the current airspace, is undergoing rapid development. This involves updating and improving the system, as well as transitioning from analogue to digital, with the automation process progressing swiftly day by day. For Mongolia, it is very important to determine the angle of rotation of the radar antenna used in the armament of the Air Force of the Armed Forces and determine the target detected in the airspace. This paper introduces a novel hardware and software solution for simulating the control of a radar antenna rotation system and processing the output signal of a Selsin sensor to determine the rotation angle. Due to the confidentiality of military information, this article does not include device brands, specifications or bibliography.

Радарын антены эргэлтийн системийн удирдлагыг загварчлах нь

Хураангуй: "Монгол Улс нь өөрийгөө хамгаалах зэвсэгт хүчинтэй байна"[1] гэсэн үндсэн хуулийн заалтын хүрээнд өөрийн нутаг дэвсгэр, хил хязгаар, үндэсний аюулгүй байдлыг хамгаалах үүргийнхээ дагуу одоо ашиглагдаж буй агаарын орон зайд хяналт тавих радиолокацын станц (цаашид радар гэх)-ын техник хэрэгслүүдийг шинэчлэх, сайжруулах, аналог системээс дижитал буюу тоон системд шилжүүлэх, автоматжуулах ажлыг өдрөөс өдөрт маш хурдацтайгаар хөгжүүлсээр байна. Монгол Улсын хувьд Зэвсэгт хүчний Агаарын цэргийн зэвсэглэлд ашиглагдаж буй радарын антены эргэлтийн өнцгийг тодорхойлж агаарын орон зайд илэрсэн бай/цель/-г оновчтой илрүүлж тогтоох нь нэн чухал юм. Энэхүү өгүүллээр радарын антены эргэлтийн системийн удирдлагыг загварчилсан ба эргэлтийн өнцгийг тодорхойлох сельсин мэдрэгчийн гаралтын дохиог боловсруулах техник хангамжийн болон программ хангамжийн шинэ шийдлийг танилцуулж байна. Цэргийн мэдээллүүд нууцлалын зэрэгтэй тул энэхүү өгүүлэлд төхөөрөмжийн марк, техникийн үзүүлэлт мөн ном зүйг дурдах боломжгүй юм.

Түлхүүр үгс: Сельсин, энкодер, хөдөлгүүр, радар, тоон дохио